Soal Prediksi TKA & Pembahasan
1. Diketahui nilai \( x+\frac{1}{x}=5 \). Nilai dari bentuk aljabar \( x^{2}+\frac{1}{x^{2}} \) adalah….
- (A) 23
- (B) 25
- (C) 27
- (D) 29
Lihat Pembahasan
\( (x+\frac{1}{x})^2 = 5^2 \)
\( x^2 + 2(x)(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x^2} = 25 \)
\( x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 25 \)
\( x^2 + \frac{1}{x^2} = 25 – 2 \)
\( x^2 + \frac{1}{x^2} = 23 \)
Jawaban: (A)
2. Sebuah taman berbentuk persegi panjang dengan ukuran panjang \( (3x+2) \) meter dan lebar \( (2x-1) \) meter. Di bagian dalam taman tersebut, tepat di sekeliling pinggirnya, dibuat jalan setapak selebar 1 meter. Luas jalan setapak tersebut dalam bentuk aljabar adalah…..
- (A) \( 10x-2~m^{2} \)
- (B) \( 10x-6~m^{2} \)
- (C) \( 6x^{2}+x-2~m^{2} \)
- (D) \( 6x^{2}-9x~m^{2} \)
Lihat Pembahasan
Panjang luar = \( 3x+2 \)
Lebar luar = \( 2x-1 \)
Karena dibuat jalan selebar 1 meter di sekeliling tepi dalam, maka ukuran bagian taman yang tidak tertutup jalan (bagian dalam) akan berkurang 2 meter (1m di kiri + 1m di kanan, dan 1m atas + 1m bawah):
Panjang dalam = \( (3x+2) – 2 = 3x \)
Lebar dalam = \( (2x-1) – 2 = 2x-3 \)
Luas Jalan = Luas Luar – Luas Dalam
\( L = [(3x+2)(2x-1)] – [(3x)(2x-3)] \)
\( L = (6x^2 – 3x + 4x – 2) – (6x^2 – 9x) \)
\( L = 6x^2 + x – 2 – 6x^2 + 9x \)
\( L = 10x – 2 \)
Jawaban: (A)
3. Diketahui sistem persamaan aljabar \( a^{2}-b^{2}=40 \) dan \( a+b=10 \). Evaluasi pernyataan berikut berkaitan dengan nilai \( a \) dan \( b \)!
| Pernyataan | Benar | Salah |
|---|---|---|
| Nilai dari \( a-b \) adalah 4. | ||
| Nilai dari \( a^{2}+b^{2} \) adalah 58. |
Lihat Pembahasan
Diketahui \( a^2 – b^2 = 40 \) dan \( a+b = 10 \)
\( 10 \times (a-b) = 40 \)
\( a-b = 4 \) (Pernyataan 1: BENAR)
Gunakan eliminasi:
\( a+b = 10 \)
\( a-b = 4 \)
————— (+)
\( 2a = 14 \Rightarrow a=7 \)
Jika \( a=7 \), maka \( b=3 \)
Evaluasi nilai \( a^2 + b^2 \):
\( 7^2 + 3^2 = 49 + 9 = 58 \) (Pernyataan 2: BENAR)
4. Bentuk paling sederhana dari operasi pecahan aljabar \( \frac{2x^{2}+5x-3}{x^{2}-9} \) adalah….
- (A) \( \frac{2x+1}{x+3} \)
- (B) \( \frac{2x-1}{x-3} \)
- (C) \( \frac{2x+1}{x-3} \)
- (D) \( \frac{2x-1}{x+3} \)
Lihat Pembahasan
Pembilang: \( 2x^2 + 5x – 3 = (2x – 1)(x + 3) \)
Penyebut: \( x^2 – 9 = (x – 3)(x + 3) \)
Bagikan faktor yang sama (\( x+3 \)):
\( \frac{(2x-1)\cancel{(x+3)}}{(x-3)\cancel{(x+3)}} = \frac{2x-1}{x-3} \)
Jawaban: (B)
5. Keliling sebuah persegi panjang adalah 34 cm. Jika panjangnya 3 cm lebih dari lebarnya, maka luas persegi panjang tersebut adalah….
- (A) \( 60~cm^{2} \)
- (B) \( 70~cm^{2} \)
- (C) \( 72~cm^{2} \)
- (D) \( 84~cm^{2} \)
Lihat Pembahasan
Diketahui panjang 3 cm lebih dari lebar: \( p = l+3 \)
Substitusi:
\( (l+3) + l = 17 \)
\( 2l = 14 \Rightarrow l = 7 \) cm
Jika \( l=7 \), maka \( p = 7+3 = 10 \) cm.
Luas = \( p \times l = 10 \times 7 = 70~cm^2 \)
Jawaban: (B)
6. Perhatikan pola susunan batang korek api berikut: Pola ke-1 membutuhkan 3 batang, pola ke-2 membutuhkan 5 batang, pola ke-3 membutuhkan 7 batang, dan seterusnya membentuk pola linear. Banyak batang korek api yang dibutuhkan untuk menyusun pola ke-15 adalah….
- (A) 29 batang
- (B) 31 batang
- (C) 33 batang
- (D) 35 batang
Lihat Pembahasan
Ini adalah barisan aritmatika dengan beda konstan:
Suku pertama (\( a \)) = 3
Beda (\( b \)) = 2
Rumus Suku ke-n: \( U_n = a + (n-1)b \)
\( U_{15} = 3 + (15-1)2 \)
\( U_{15} = 3 + 14(2) = 3 + 28 = 31 \)
Jawaban: (B)
7. Tumpukan pipa pralon disusun sedemikian rupa sehingga baris paling bawah terdiri dari 25 pipa, baris di atasnya 24 pipa, baris di atasnya lagi 23 pipa, dan seterusnya selalu berkurang 1 pipa. Jika tumpukan tersebut terdiri dari 12 baris, total pipa pralon seluruhnya adalah….
- (A) 230 pipa
- (B) 234 pipa
- (C) 244 pipa
- (D) 254 pipa
Lihat Pembahasan
Suku pertama (\( a \)) = 25
Beda (\( b \)) = -1
Ditanya jumlah 12 baris (\( S_{12} \)):
\( S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) \)
\( S_{12} = \frac{12}{2}(2(25) + 11(-1)) \)
\( S_{12} = 6(50 – 11) \)
\( S_{12} = 6(39) = 234 \)
Jawaban: (B)
8. Suku ke-3 dan suku ke-7 dari sebuah barisan aritmatika berturut-turut adalah 14 dan 34. Suku ke-20 dari barisan tersebut adalah….
- (A) 94
- (B) 99
- (C) 104
- (D) 109
Lihat Pembahasan
\( U_3 = a + 2b = 14 \)
\( U_7 = a + 6b = 34 \)
Eliminasi \( a \) (Kurangi bawah ke atas):
\( 4b = 20 \Rightarrow b = 5 \)
Substitusi ke \( U_3 \):
\( a + 2(5) = 14 \Rightarrow a + 10 = 14 \Rightarrow a = 4 \)
Cari \( U_{20} \):
\( U_{20} = a + 19b = 4 + 19(5) = 4 + 95 = 99 \)
Jawaban: (B)
9. Seutas tali dipotong menjadi 5 bagian yang panjangnya membentuk barisan geometri. Jika tali yang paling pendek adalah 3 cm dan yang paling panjang adalah 48 cm, maka panjang tali mula-mula adalah…
- (A) 90 cm
- (B) 93 cm
- (C) 96 cm
- (D) 99 cm
Lihat Pembahasan
Tali terpendek (\( a \)) = 3
Tali terpanjang (\( U_5 \)) = 48
Cari rasio (\( r \)):
\( U_5 = a \times r^{n-1} \)
\( 48 = 3 \times r^4 \)
\( 16 = r^4 \Rightarrow r = 2 \)
Panjang tali mula-mula adalah jumlah ke-5 potongan tali (\( S_5 \)):
\( S_n = \frac{a(r^n – 1)}{r – 1} \)
\( S_5 = \frac{3(2^5 – 1)}{2 – 1} \)
\( S_5 = \frac{3(32 – 1)}{1} = 3(31) = 93 \) cm.
Jawaban: (B)
10. Amoeba dapat membelah diri menjadi 2 setiap 20 menit. Jika pada awalnya terdapat 15 amoeba, evaluasi pernyataan berikut!
| Pernyataan | Benar | Salah |
|---|---|---|
| Banyak amoeba setelah 1 jam adalah 120 amoeba. | ||
| Banyak amoeba setelah 2 jam adalah 480 amoeba. |
Lihat Pembahasan
Jumlah awal (\( a \)) = 15.
Evaluasi Pernyataan 1 (Setelah 1 Jam):
1 jam = 60 menit. Frekuensi pembelahan (\( n \)) = 60 / 20 = 3 kali.
Jumlah amoeba = \( a \times 2^n = 15 \times 2^3 = 15 \times 8 = 120 \) amoeba. (BENAR)
Evaluasi Pernyataan 2 (Setelah 2 Jam):
2 jam = 120 menit. Frekuensi pembelahan (\( n \)) = 120 / 20 = 6 kali.
Jumlah amoeba = \( a \times 2^n = 15 \times 2^6 = 15 \times 64 = 960 \) amoeba. (SALAH, seharusnya 960, bukan 480).
